In einer Gleichung werden zwei Terme gleichgesetzt (mit dem Gleichheitszeichen verbunden). Um die Gleichung zu lösen, muss man dafür sorgen, dass beide Terme den gleichen Wert ergeben.

Beispiel:$\ \ 2x - 1 = x $

Wenn $ x = 1 $, dann sind beide Seiten gleich, weil:
$ 2 \cdot 1 - 1 = 1 \rarr 1 = 1 $ (in der Gleichung wurde x durch 1 ersetzt)

Nicht immer kann man das Ergebnis so leicht erkennen. Um Gleichungen trotzdem zu lösen, nutzt man Äquivalenzumformungen. $ 2x = x + 1 $
Äquivalenzumformungen werden genutzt um eine Gleichung so lange umzuformen, bis auf einer Seite nur noch eine Variable steht, zum Beispiel $ x = 1 $. Mit ihnen ist es möglich eine Gleichung so umzuformen, dass die Gleichungen sich weiterhin entsprechen. Man kann sich eine Gleichung als Waage vorstellen, die genau im Gleichgewicht ist. Dieses Gleichgewicht soll erhalten werden.

Beispiel

$ 2x + 2 = x + 3 $

$ 2x + 2 = x + 3 \ \ | -2$

$ 2x = x + 1 \ \ | -x$

$ \underline{\underline{x = 1}}$

Man kann das Ergebnis auch als Lösungsmenge schreiben. In der Menge stehen dann alle möglichen Lösungen für die Variable. In diesem Fall schreibt man:
$ L = \{8\} $

Häufig genutzte Äquivaltzumformungen sind:

• Tauschen der Seiten der Gleichung
• Addieren/Subtrahieren eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung
• Multiplizieren beider Seiten mit dem gleichen Term (aber nicht mit 0)
• Dividieren beider Seiten durch den gleichen Term (aber nicht durch 0)

Umstellen von Formeln

Das Umstellen von Formeln funktioniert genauso wie das Umstellen einer Gleichung nach einer Variablen. Meist bekommt man aber als Lösung anstatt einer Zahl eine weitere Formel.

Beispiel:

$ a^2 + b^2 = c^2 $ nach $ a $ umstellen

$ a^2 + b^2 = c^2 | -b^2 $

$ a^2 = c^2 - b^2 | \quad \sqrt{} $ (zur Erinnerung: Wurzel ziehen ist die Gegenoperation zum Quadrieren)

$ a = \sqrt{c^2 - b^2} $